دانشکده علوم پایه
گروه فیزیک
پایان نامه کارشناسی ارشد در گرایش اتمی و مولکولی
عنوان:
بررسی پدیده دوپایایی نوری در سیستمهای کوانتومی مختلف
دانشجو:
مهدی نورمحمدی
اساتید راهنما:
دکتر اکبرجعفری
دکتر رحیم نادرعلی
شهریور 91
” حق چاپ و انتشار مطالب این پایان نامه برای دانشگاه ارومیه محفوظ است.”
(
اهداء:
تقدیم به شهدای علمی سرزمینم
و تمامی کسانی که در راه آنانند…
تقدیر و تشکر:
با تشکر فراوان از تمامی اساتیدی که راهنمایم بودند، استاد جعفری و استاد نادرعلی، اساتید اخلاق و راهنمای من در این پروژه،
و سپاس و قدردانی از پدر، مادر و همسرم که اسطوره صبر وبردباری من هستند.
و همچنین تقدیم به فرزندم
فهرست
چکیده…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..1
مقدمه ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. 2
فصل اول
مفاهیم بنیادی ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. 4
اختلال………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 4
پذیرفتاری …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. 8
ماتریس چگالی ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. 10
اختلال و معادله حرکت ماتریس چگالی…………………………………………………………………………………………………………………..16
رابطه بین پذیرفتاری ، ضریب شکست غیر خطی و شدت …………………………………………………………………………………….22
فصل دوم
تعریف دوپایایی …………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. 25
ابزار نوری و شرایط مرزی………………………………………………………………………………………………………………………………………..25
دوپایایی جذبی ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………….27
دوپایایی شکست …………………………………………………………………………………………………………………………………………………….32
فصل سوم
دوپایایی در سیستم اتمی دو ترازی ………………………………………………………………………………………………………………………35
ابزار نوری و شرایط ورزی………………………………………………………………………………………………………………………………………..43
فصل چهارم
دوپایایی در سیستم اتمی سه ترازی ……………………………………………………………………………………………………………….. 50
سیستم اتمی سه ترازی آبشاری………………………………………………………………………………………………………………………….50
سیستم اتمی Λ- شکل……………………………………………………………………………………………………………………………………….56
اثر پدیده دوپلر بر روی دوپایایی اتمهای Λ- شکل ………………………………………………………………………………………….61
تغییر معادلات لیوویل در سیستم اتمی سهترازی Λ- شکل……………………………………………………………………………..65
کنترل دوپایایی در سیستم اتمی V- شکل……………………………………………………………………………………………………….66
فصل پنجم
دوپایایی در سیستم اتمی پنج ترازی ………………………………………………………………………………………………………………. 72
سیستم اتمی کوبراک- رایس……………………………………………………………………………………………………………………………..72
کنترل دوپایایی نوری در سیستم اتمی M- شکل……………………………………………………………………………………………80
نقش تغییر فاز در دوپایایی سیستم اتمی M- شکل…………………………………………………………………………………………87
نتیجه گیری……………………………………………………………………………………………………………………………………………………….89
مراجع…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………91
چکیده
در بعضی از سیستمهای اپتیکی غیر خطی اگر نور لیزر با شدت بالايي اعمال شود، به ازای یک شدت ورودی، سیستم دارای دو شدت خروجی خواهد بود. جمله دوپایداری نوری بخاطر این خاصیت از سیستم برای این پدیده استفاده می شود. سيستم هايي با چند پايايي نوري نيز وجود دارند كه در اين سيستم ها به ازاء يك شدت ورودي معين چندين شدت خروجي ميتواند وجود داشته باشد. در اين پایان نامه هدف بررسي چندپایایی نوری است، اما بخاطر اهميت و کاربرد فراوان دوپايداري نوري در سوئیچ زنی به اين موضوع نیز پرداخته میشود.
در اين تحقیق رفتار دوپايايي نوري يك سيستم پنج ترازي М- شکل در حضور میدان های همدوس لیزری بررسی شده است. نشان داده شده که آستانه دوپایایی به شدت میدان های اعمالی بر سیستم وابسته است، همچنین با تغيیر در شدت میدانها ی جفت کننده چند پایایی را نيز ميتوان مشاهده كرد. در آخر، منحنیهای جذب و پاشندگي با تغيیر در شدت میدانها ی جفت کننده بررسي شده است. و به بررسی اثر فاز میدانهای کنترلی بر روی دوپایایی پرداخته شده است.

مقدمه

در سالهاي اخير، تعداد زيادي از پديده هاي اپتيك كوانتومي برپايه همدوسي و تداخل كوانتومي، مورد توجه محققان اين رشته بوده است.[1] از جمله آنها ميتوان به ليزرزايي بدون واروني جمعیت، شفافيت القايي الكترومغناطيسي، حذف جذب، دوپايايي نوري و غير خطيت كر اشاره كرد.[2-4] يكي از اين پديده ها دوپايايي نوري در اتم هاي چند ترازي است كه درون يك كاواك قرار داده شده است. دوپايايي نوري به علت كاربردهاي گسترده آن، مثل کاربرد آن در ترانزيستورهاي نوري، المان هاي حافظه سيستم و سوئیچ هاي تمام نوري مورد مطالعه قرار گرفته است.[5-7]
در اين پایان نامه ابتدا به تعریف پدیده دوپایایی نوری با استفاده از روابط شدتها پرداخته میشود. و سعی میشود به یک دید کلی از دوپایداری نوری برسیم. البته برای بررسی این پدیده در سیستمهای اتمی مختلف به روابطی از مکانیک کوانتومی و اپتیک غیر خطی نیاز خواهیم داشت که به بررسی اجمالی این روابط در فصل دوم نیز پرداخته میشود. مزیت دیگر این فصل آن است که دارای یک پیوستگی بین روابط کوانتومی که از قبل با آنها آشنا هستیم و روابط اپتیک غیر خطی خواهد بود.
سپس به بررسی روابط اپتیک غیر خطی که در پدیده دوپایایی کاربرد دارند پرداخته میشود وسپس رفتار دوپايايي نوري سیستمهای اتمی مختلف مورد بررسي قرار میگیرد. ابتدا در فصل سوم از يك سیستم دوترازي استفاده ميشود. در سیستم دو ترازی با محدودیتهای از قبیل اختلاف فاز محدود برای ایجاد دوپایایی، روبرو هستیم. و سپس در فصل سوم سیستم سه ترازی مطالعه ميشود كه با استفاده از كنترل فاز بين دو ميدان كاوشگر و كنترلي، در حضور اثر تداخل كوانتومي، ميتوان سيستم را از حالت دوپايا به حالت چندپايا برد.
در فصل چهارم دوپايايي نوري در سيستمهاي اتمي سه ترازی درون مشددهاي نوري بطور تئوريكي مطالعه شده است .يكي از فوايد بكارگيري سيستم اتمي سه ترازی بجاي دوترازی اين است كه اتم ها بصورت يك محيط غيرخطي در يك مشدد نوري، بكارگيري همدوسي اتمي ايجاد شده در سيستم اتمي سه ترازی را كه جذب، پاشندگي و غيرخطيت سيستم را به شدت تحت تاثير قرار مي دهد ممكن مي سازد و بخوبي معلوم شده است كه همدوسي ناشي از گسيل خودبخودی مي تواند با گسيل يك تراز تحريكي به دو تراز اتمي نزديك به هم يا دو تراز نزديك به هم به يك تراز تحريكي ايجاد شود. اين همدوسي در يك سيستم اتمي نوع آبشاري ميتواند در مورد ترازهاي اتمي تقريباً هم فاصله اتفاق بيافتد. ترازهاي نزديك تبهگن، يك جمله همدوسي ناشي از اندركنش با خلاء ميدان تابشي دارند.
در فصل پنج رفتار دوپايايي نوري را در سيستمهای اتمی پنج ترازي در حضور میدان های همدوس لیزری بررسی می کنیم. سیستم پنج تراز ی که تا کنون دوپایایی آن بررسی شده است سیستم کوبراک- رایس1 است. علاوه بر آن در این فصل پدیده دو پایایی نوری در یک سیستم اتمی پنج ترازی -M شکل با سه میدان جفت کننده و یک میدان کاوشگر را در یک کاواک حلقوی یکسویه بررسی میکنیم سیستم اتمی پنج ترازی- M شکل بیشتر از جنبههای نشر خودبخودی ترازها و فوتو آشکار ساز با طول موج پایین مورد توجه بوده است. نشان می دهیم که آستانه دوپایایی به شدت میدان های اعمالی بر سیستم وابسته است، همچنین با تغيیر در شدت میدانها ی جفت کننده به چند پایایی نيز میرسیم.
با توجه به تشابه بسیاری از روابط و نتایج رفتار دوپایایی نوری در سیستم چهار ترازی و سایر سیستم های اتمی بررسی شده، بخاطر اختصار و جلوگیری از تکرار، از نوشتن بخشی با عنوان رفتار دوپایایی سیستمهای چهارترازی خودداری کردهایم. اما بخاطر جدید بودن و مطالعه سیستم های پنجترازی در ماههای اخیر، این سیستمها نیز بررسی شده است.
در بررسی دوپایایی نوری در انواع سیستم های نوری، در مورد جذب و پاشندگی اتمها بحث خواهد شد و منحنیهای جذب و پاشندگي را با تغيیر در شدت میدانهای جفت کننده بررسي میشود.
فصل اول
مفاهیم بنیادی
مقدمه
این فصل را به مفاهیمی از مکانیک کوانتومی اختصاص می دهیم که در محاسبات مورد نیاز هستند. هدف از این کار آشنایی با مسیری مشخص برای مطالعه پدیده دوپایایی نوری است، نه مطالعه قوانین کوانتومی، لذا در بعضی موارد به ذکر مختصری از قوانین مکانیک کوانتومی اکتفا میشود. سعی میشود آنجایی که نقش مهمی در محاسبات بعدی را دارد، بیشتر توضیح داده میشود.
1-1 اختلال
یکی از قوانین اسا سی مکانیک کوانتومی اینست که می توان تمام ویژگیهای یک سیستم اتمی را بر اساس تابع موج اتمی توصیف کرد که از معادله شرودینگر بصورت زیر بدست میآیند:
(1-1) iℏ ∂Ψ/∂t=H Ψ
ویژه حالتهای یک سیستم اتمی و همچنین ویژه مقادیر یک سیستم اتمی را می توان از معادله شرودینگر بدست آورد.
H عملگر هامیلتونی است که برای یک سیستم اتمی دارای برهمکنش، شامل دو جمله خواهدبود.
(1-2) H ̂=H ̂_0+λV ̂_((t))
H_0 هامیلتونی اتم آزاد و 〖λV〗_((t)) هامیلتونی برهمکنش اتم است. λ پارامتر اختلال نامیده می شود که بیانگر شدت اختلال است و عددی بین صفر تا یک را دارد. λ=1 برای یک بر همکنش کامل در نظر گرفته می شود.
درصورتی که اتم بدون برهمکنش در نظرگرفته شود، جوابهای معادله شرودینگر بصورت زیر هستند:
(1-3) Ψ_n (r,t)=u_n (r) e^(-iω_n t)
که شامل دو قسمت زمانی و فضایی است. قسمت فضایی در معادله ویژه مقداری زیر که معادله مستقل از زمان شرودینگر نامیده می شود، صدق می کند
(1-4) H_0 u_n (r)=E_n u_n (r)
و E_n=ℏω_n ویژه مقادیر معین انرژی اتم هستند.
جوابهای قسمت فضایی یک مجموعه متعامد کاملی را تشکیل می دهند و شرط تعامد زیر را ارضاء میکنند
(1-5) ∫▒〖u_m^* u_n d^3 r=δ_mn 〗
برای یک اتم در برهمکنش با میدان الکتریکی، هامیلتونی برهمکنشی بصورت زیر می باشد:
(1-6) V ̂_((t))=-μ ⃗ . E ⃗_((t))
که μ ⃗ گشتاور دوقطبی اتم است و بصورت زیر تعریف میشود:
(1-7) μ=-er ⃗_((t))
جوابهای معادله شرودینگر با در نظر گرفتن اختلال بصورت زیر است:
(1-8) Ψ_((r,t))=Ψ_((r,t))^((0))+λΨ_((r,t))^((1))+λ^2 Ψ_((r,t))^((2))+…
Ψ^N قسمتی از جواب معادله شرودینگر است که در انرژی بر همکنش V از مرتبه N ام است.
برای بدست آوردن مرتبه های مختلف جواب معادله شرودینگر معادله ( 1- 8) را در معادله ( 1- 1) قرار می دهیم و تمام جملات متناسب با توان یکسان از λ را مساوی هم قرار می دهیم، برای λ ی با توان صفر داریم:
(1-9) iℏ((∂Ψ^((0) ))⁄∂t)=H ̂_0 Ψ^((0))
که جواب معادله شرودینگر برای اتم بدون برهمکنش است. برای سایر مرتبه های اختلال، یک جواب کلی به صورت زیر بدست می آید:
(1-10) iℏ (∂Ψ^N)/∂t=H ̂_0 Ψ^((N))+V ̂Ψ^((N-1))
فرض می کنیم جواب معادله شرودینگر در غیاب جمله برهمکنشی بصورت زیر است:
(1-11) Ψ_((r,t))^((0))=u_g (r) e^(-iE_g t/ℏ)
که در اینجا E_g و u_g ویژه مقدار انرژی و ویژه تابع فضایی اتم در حالت پایه می باشند. با توجه به اینکه ویژه توابع انرژی اتم بدون برهمکنش مجموعه کامل و متعامدی را تشکیل می دهند و می توان هرتابعی را بر حسب آنها بسط داد، تابع موج مرتبه N ام از برهم کنش را به وسیله آنها میتوان بصورت زیر بسط داد.
(1-12) Ψ_((r,t))^((N))=∑_l▒a_l^((N) ) (t) u_l (r) e^(-iω_l t)
که ضریب a_l^((N) ) (t) ، دامنه احتمال آن است که اتم در مرتبه N ام اختلال، در لحظه t و در ویژه حالت l باشد.
با قرار دادن معادله ( 1- 12) در معادله ( 1- 10) ، دستگاه معادلاتی بر حسب دامنه های احتمال بدست می آید:
(1-13) iℏ∑_l▒〖a ̇_l^((N) ) u_l 〗 (r) e^(-iω_l t)=∑_l▒〖a_l^((N-1)) V ̂u_l (r) e^(-iω_l t) 〗
این معادله دامنه های احتمال مرتبه N ام را به دامنه های احتمال مرتبه (N-1) ام مرتبط می سازد.
با ضرب دوطرف معادله( 1-13) در u_m^* و انتگرال روی تمام فضا و با استفاده از شرط تعامد توابع پایه معادلات زیر بدست میآیند:
(1-14) a ̇_m^((N))=〖(iℏ)〗^(-1) ∑_l▒〖a_e^((N-1)) V_ml e^(iω_ml t) 〗
که در آن ω_ml=ω_m-ω_l و V_ml به شکل زیر تعریف میشود:
(1-15) V_ml=〖<u〗_m |V ̂ | u_l> =∫▒〖u_m^* (V ) ̂ 〗 u_n d^3 r
که در واقع عناصر ماتریسی هامیلتونی اختلال هستند.
برای مشخص کردن دامنه های مرتبه اول a_l^((1) ) (t) فرض می کنیم سیستم اتمی در مرتبه صفرم ( بدون اختلال) در حالت پایه، g باشد، در نتیجه a_l^((0) )=δ_lg می باشد.
با استفاده از معادلات (1- 3) و ( 1- 15) عناصر ماتریسی هامیلتونی اختلال را بصورت زیر میتوان نوشت:
(1-16) V ̂_ml=-μ_ml .E_((t))
که در آن عبارت μ_ml به شکل زیر نوشته میشود:
(1-17) μ_ml=∫▒〖u_m^* μ ̂ 〗 V_l d^3 r= <u_m |μ| u_n>
و گشتاور دو قطبی گذار نامیده می شود.
حال با جایگذاری روابط اخیر در معادله (1- 14)، دامنه احتمال با استفاده از انتگرال گیری بدست میآید، با فرض اینکه حد پایین انتگرال صفر است.
(1-18- الف) a ̇_n^((N)) (t)=〖(iℏ)〗^(-1) ∑_e▒∫_(-∞)^t▒V_ml ((t)) ́a_e^((N-1)) ((t)) ́e^(iω_ml t ́ )
(1-18- ب) a ̇_n^((1) ) (t)=1/ℏ ∑_m▒〖(μ_mg. E_((t)))/ω_mg e^(iω_mg t) 〗
دوباره از معادله (1- 14) استفاده می کنیم و با استفاده از دامنه احتمال مرتبه اول، دامنه احتمال مرتبه دوم به دست میآید:
(1-19) a_n^((2) ) (t)=1/ℏ^2 ∑_pq▒∑_m▒〖[μ_nm . E_(〖(ω〗_q)) ][μ_mg . E_(ω_p ) ]/(ω_ng-ω_p-ω_q )(ω_mg-ω_p ) e^(〖i(ω_ng-ω_p-ω_q)〗^t ) 〗
این عمل را تکرار می کنیم و دامنه احتمال مرتبه سوم را حساب می کنیم
(1-20) a_ν^((3) ) (t)=1/ℏ^3 ∑_pqr▒〖∑_mn▒[μ_νn E_((ωr) ) ][μ_nm .E_((ωq) ) ][μ_mg . E_((ωp) ) ]/((ω_νg-ω_(p-) ω_q-ω_r )(ω_ng-ω_p-ω_q )(ω_mg-ω_p)) e^(〖i(ω_(νg-) ω_(p-) ω_q-ω_r)〗^t ) 〗
و این عمل برای بدست آوردن دامنه احتمال مرتبه های بالاتر، تکرار میشود.
1-2 پذیرفتاری
نتایج به دست آمده از بخش قبل برای محاسبه پذیرفتاری یا همان ویژگیهای نوری یک سیستم مادی به کار برده میشود.
مقدار چشمداشتی گشتاور دو قطبی الکتریکی عبارت است از:
(1-21) <P>= <Ψ|μ ̂ |Ψ>
Ψ توسط بسط اختلال با λ=1 ، بیان می شود، قسمتی از <p> که رابطه خطی با میدان دارد، با رابطه زیر بیان میشود:
(1-22) <P^((1))> = <Ψ^((0)) |μ ̂ | Ψ^((1) )>+<Ψ^((1)) |(μ|) ̂Ψ^((0) )>
با جایگذاری Ψ^((0)) و Ψ^((1)) از روابط (1- 11) ، (1- 12) ، (1- 18) مقدار چشمداشتی مرتبه اول گشتاور دو قطبی الکتریکی بصورت زیر می شود:
(1-23) <P^((1))> =1/ℏ ∑_p▒∑_m▒〖 ( (μ_gm [μ_mg . E_((ω_P ) ) ])/((ω_mg-ω_p)) e^(-iω_p t) 〗+(〖[μ_mg .〖 E〗_((ω_P ) )]〗^* μ_mg)/((ω_mg^*-ω_p)) e^(iω_p t) )
بسامد گذار ω_mg بصورت موهومی در نظر گرفته شده است و روی تمام قسمتهای مثبت ومنفی بسامد ω_p جمع بسته شده است.
اگر در جمله دوم ω_p را به 〖-ω〗_p تغیر دهیم، نتیجه ساده تر خواهد شد.
(1-24) <P^((1))> =1/ℏ ∑_p▒∑_m▒〖 ( (μ_gm [μ_mg . E_((ω_P ) ) ])/((ω_mg-ω_p))〗+([μ_mg .E_((ω_P ) )]μ_mg)/((ω_mg^*+ω_p)) )e^(-iω_p t)
قطبش خطی را بصورت p^((1))=N<p^((1))> در نظر می گیریم که N چگالی تعداد اتمهاست. همچنین برای پذیرفتاری خطی داریم:
(1-25) p_i^((1) ) (ω_p )=∑_j▒〖χ_ij^((1)) E_j (ω_p)〗
و در نتیجه:
(1-26) χ_ij^((1) ) (ω_p )=∑_m▒〖N/ℏ ((μ_gm^i μ_mg^j)/(ω_mg-ω_p )〗+(μ_gm^j μ_mg^i)/(ω_mg^*+ω_p ))
قطبش p_((t)) یا همان گشتاور دوقطبی در واحد حجم ماده بستگی به شدت میدان نوری اعمال شده دارد، در اپتیک خطی این وابستگی خطی است یعنی قطبش متناسب توان اول شدت میدان نوری است، این تناسب با ضریبی بنام پذیرفتاری خطی به تساوی تبدیل می شود.
(1-27) p_((t))=χ^((1)) E_((t))
در اپتیک غیر خطی قطبش متناسب با توانهای بالاتر شدت میدان نوری اعمال شده خواهد بود و رابطه بین قطبش و میدان نوری به صورت زیر خواهد بود:
(1-28) p_((t))=χ^((1)) E_((t))+χ^((2)) E_((t))+χ^((3)) E_((t))+…=p_((t))^((1))+p_((t))^((2))+p_((t))^((3))+…
کمیتهای χ^((2)) و χ^((3)) به ترتیب پذیرفتاری نوری غیر خطی مرتبه دوم و سوم هستند. χ^((1)) یک تانسور مرتبه دو وχ^((2)) یک تانسور مرتبه سه و… می باشند. همچنین p_((t))^((2)) قطبش غیر خطی مرتبه دوم و p_((t))^((3)) قطبش غیر خطی مرتبه سوم هستند. پذیرفتاری مرتبه دوم برای بسیاری از مواد قابل صرف نظر کردن است، زیرا برای بلورهای اتفاق می افتد که دارای مرکز تقارن نباشند، در صورتی که بسیاری از مواد دارای مرکز تقارن هستند.
1-3 ماتریس چگالی :
از یک سیستم کوانتومی شروع می کنیم و فرض میکنیم که در حالت کوانتومی خاص مانند s قرار دارد، تابع موج این حالت تمام خصوصیات فیزیکی سیستم را در بر دارد و در رابطه شرودینگر صدق می کند:
(1-29) iℏ((∂Ψ_s (r,t))⁄∂t)=H ̂Ψ_s (r,t)
که H ̂ هامیلتونی سیستم است وشامل دو قسمتH_0 هامیلتونی اتم بدون اندرکنش و V_t هامیلتونی اندرکنش اتم، می باشد.
(1-30) H ̂=H ̂_0+V_((t))
از آنجایی که ویژه حالتهای انرژی هامیلتونی بدون برهمکنش سیستم اتمی، یک مجموعه کامل از توابع پایه راست هنجار را تشکیل می دهند، می توان توابع موج سیستم با تحول زمانی را برحسب آنها بسط داد. یعنی:
(1-31) Ψ_s (r,t)=∑_n▒〖C_n^s (t) 〖 u〗_n (r)〗
که در آن u_n (r) ها ویژه حالتهای انرژی معادله شرودینگر مستقل از زمان هستند که در رابطه H_0 u_n (r)=E_n u_n (r)
و نیز در رابطه راست هنجاری صدق می کند:
(1-32) ∫▒〖u_m^* (r) u_n (r) d^3 r〗=δ_mn
دامنه احتمال آنکه اتم در لحظه t در ویژه حالت s باشد، با ضریب C_n^s (t) نشان داده شده است. و برای مشخص کردن آنها بسط (1- 31) را در معادله شرودینگر قرار می دهیم:
(1-32) iℏ∑_n▒〖(dC_n^s (t))/dt= ∑_n▒〖C_n^s (t) 〗 H ̂u_n (r)〗
طرفین رابطه بالا را در u_m^* (r) ضرب می کنیم و روی تمام فضا انتگرال می گیریم، سمت چپ با استفاده از شرط تعامد به یک جمله کاهش می یابد و به شکل زیر به دست می آید:
(1-33) iℏ d/dt C_m^s (t)=∑_n▒〖H_mn C_n^s (t)〗
که در آن H_mn عناصر ماتریسی هامیلتونی بوده و که به صورت زیر نوشته می شوند:
(1-34) H_mn=∫▒〖u_m^* (r) H ̂u_n (r) d^3 r〗
لزوم تعریف ماتریس چگالی زمانی دیده میشود که معادلات بالا نتوانند جواب معادله شرودینگر را بدست آورند. وقتی که سیستم متشکل از چندین ذره باشد یا وقتی که سیستم اثرات ناهمدوسی مثل گسیل خودبخودی داشته باشد، عملاً معادله شرودینگر کارآیی ندارد.
مجموعهای از سیستمهای اتمی را که همگی در یک حالت کوانتومی یکسان مثل |Ψ_s> باشند را مجموعه خالص می نامیم و همچنین مجموعهای از سیستمها ی اتمی که در حالتهای کوانتومی مختلفی باشند مثلاً 10% آنها در حالت |Ψ_s1> و70% آنها در حالت |Ψ_s2> و20% آنها در حالت |Ψ_s3> با شند را مجموعه آمیخته می نامیم. در مجموعه آمیخته درصد حالتها را وزن آماری می نامند.
برای بدست آوردن مقدار چشمداشتی یک کمیت فیزیکی وقتی سیستم در یک حالت کوانتومی قرار داشت از رابطه زیر استفاده می کنیم:
(1-35) <A> =<Ψ|A|Ψ>
ولی در مجموعه سیستهایی که هر کدام یک حالت کوانتومی دارند، مقدار چشمداشتی را بصورت زیر تعریف می کنیم:
(1-36) [A]=∑_i▒〖ω_i<Ψ_i |A| Ψ_i>〗
و آن را متوسط مجموعهای مشاهده پذیر A مینامیم.
می توانیم متوسط مجموعه ای را برحسب ویژه حالتهای یک مشاهده پذیر دیگر مثل B بنویسیم
(1-37) [A]=∑_i▒〖∑_((b , ) ́b^”)▒〖ω_i<Ψ_(i ) | (b>) ́ 〗<(b |) ́A|〗 b^”><b^” |Ψ_i>
و با کمی جابجایی داریم:
(1-38) [A]=∑_(b ́, b^”)▒〖∑▒〖ω_i<b^” | Ψ_i><〗 Ψ_i |b ́><b ́|A| b^”>〗
حال با تعریف ماتریس چگالی بصورت زیر رابطه بالا را ساده تر میکنیم:
(1-39) ρ=∑_i▒〖ω_i |Ψ_i>〗<Ψ_i |
در نتیجه:
(1-40) [A]=∑_(b ́,b^”)▒〖<b^” |ρ| b ́><b ́ 〗 |A| b^(” )>=∑_(b^”)▒< b^” |ρA| b^”>=Tr(ρA)
عملگر Tr(M) ، رد ما تریس M است و بصورت TrM ̂= ∑_n▒M_nn تعریف میشود.
در اینجا ما هم ماتریس چگالی را تعریف کردیم و هم یک رابطه مفید برای متوسط مجموعه ای یک مشاهده پذیر با استفاده از مجموعه سیستمهای کوانتومی را به دست آوردیم.
برای مجموعه خالص ماتریس چگالی بصورت زیر میباشد:
(1-41) ρ=|Ψ_i><Ψ_i |
و برای مجموعه آمیخته بصورت زیر می باشد:
(1-42) ρ=∑_i▒〖ω_i | Ψ_i><Ψ_i |〗
حال برای اینکه اطلاعاتی از سیستم را در زمانهای مختلف داشته باشیم و برای به دست آوردن تحول زمانی مقدار چشمداشتی به فکر تحول زمانی ماتریس چگالی می افتیم.
از رابطه ماتریس چگالی نسبت به زمان مشتق می گیریم و در iℏ ضرب می کنیم.
(1-43) iℏ ∂ρ/∂t=iℏ ∑_i▒〖ω_i [(∂/∂t│Ψ_i (r,t)>)<Ψ_i (r,t)┤|+ |Ψ_i (r,t)>(∂/∂t<Ψ_i (r,t)┤|)] 〗
با یادآوری معادله شرودینگر، رابطه بالا ساده تر نیز خواهد شد:
(1-44-الف) iℏ ∂ρ/∂t=∑_i▒〖ω_i (H |Ψ_i (r,t)><Ψ_i (r,t)|-|Ψ_i (r,t〗)><Ψ_i (r,t)|H )
(1-44- ب) iℏ ∂ρ/∂t=Hρ- ρH
(1-44- پ) ∂ρ/∂t=1/iℏ [H , ρ] , ρ ̇_mn=1/iℏ 〖[H , ρ]〗_mn
این معادله برای زمانی است که اتمها در حالت همدوس باشند اما در حضور اثرات ناهمدوسی مثل گسیل خودبخودی و یا برهمکنش ناشی از برخورد اتمها این اثرات بصورت پدیدارشناختی به معادله بالا اضافه می شوند که به معادله لیوویل معروف است. پدیدارشناختی یعنی با شناخت سیستم ومتناسب با اثرات ناهمدوسی جملاتی ازمعادله بالا کم یا زیاد می شود.
روشهای مختلفی وجود دارد که جملات ناهمدوسی را به معادله بالا اضافه کنیم اما در بیشتر مواقع فرآیندهای واپاشی بصورت زیر به معادله بالا اضافه میشود. برای عناصر غیر قطری ماتریس چگالی جملات پدیدار شناختی بصورت زیر است:
(1-45)



قیمت: تومان

دسته بندی : پایان نامه ارشد

پاسخ دهید